Порядок группы

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается [math]\displaystyle{ |G| }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbf{Ord(G)} }[/math].

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы [math]\displaystyle{ G }[/math] равен порядку любой её подгруппы [math]\displaystyle{ H \subseteq G }[/math], умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

[math]\displaystyle{ |G| = |H| \cdot [G : H] }[/math].

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] с порядком её центра [math]\displaystyle{ \mathrm Z(G) }[/math] и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

[math]\displaystyle{ |G| = |Z(G)| + \sum_{i}d_i }[/math],

где [math]\displaystyle{ d_i }[/math] — размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] — просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента [math]\displaystyle{ e }[/math], и уравнение превращается в [math]\displaystyle{ |S_3| = 1+2+3 }[/math].

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы [math]\displaystyle{ G }[/math] является степенью целого простого числа [math]\displaystyle{ p }[/math] в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью [math]\displaystyle{ p }[/math].

Литература

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.